Теорема Кантора доказана по-новому

Важнейшим открытием немецкого математика Георга Кантора было то, что бесконечные множества различаются в количественном отношении. Это различие он показал в том числе для множеств действительных и натуральных чисел.

Согласно предложенной им в 1874 г. теореме, множество всех действительных чисел является несчётным, то есть оно не эквивалентно бесконечному ряду натуральных чисел (его элементы нельзя последовательно и однозначно пронумеровать натуральными числами 1, 2, 3 и т.д.).

Свое доказательство Кантор построил от противного, предположив наличие счётности пронумерованного списка всех действительных чисел a₁, a₂, a₃ и т.д., находящихся в интервале от 0 до 1. Эти числа он представил в виде бесконечных десятичных дробей (рациональным числам для этого пришлось добавить бесконечное число нулей начиная с определенного знака после запятой).

Затем Кантор предложил составить еще одну бесконечную десятичную дробь, у которой первый знак после запятой отличается от первого знака после запятой a₁, второй знак отличается от второго знака a₂ и так далее до бесконечности.

Полученная дробь не совпадает ни с одной десятичной дробью a_n, поскольку на n-й позиции у нее и a_n стоят разные цифры. Из этого следует, что полученная дробь не входит в нумерованный список чисел, а значит этот список не является счётным.

Недавно наш современник Мэтью Бейкер (Matthew Baker) из Технологического института Джорджии в Атланте предложил новое доказательство того, что множество действительных чисел несчётно. Его статья с решением опубликована в издании Mathematics Magazine.

Бейкер придумал математическую игру, заключающуюся в том, что вымышленные персонажи Алиса и Боб поочередно выбирают действительные числа из интервала от 0 до 1. Числа Боба обозначаются В, Алисы - А.

Сначала Боб выбирает любое число больше последнего А и меньше 1, а Алиса - меньше последнего В и больше 0. Затем они выбирают числа, которые находятся в интервале между двумя последними числами, выбранными игроками.

По ходу игры числа Алисы и числа Боба становятся все более близки по значению. Числа Алисы бесконечно приближаются к определенному числу α, которое больше, чем все А и меньше, чем все В. Если это число лежит в указанном промежутке (0-1), выигрывает Алиса, если нет - то Боб. Интуитивно понятно, что в этой игре всегда выигрывает Алиса.

Мэтью Бейкер доказывает теорему Кантора от противного. Если бы множество действительных чисел в промежутке 0-1 было счётным, то победителем был бы Боб.

Исследователь предложил стратегию, при которой Боб гарантированно выигрывает в данных условиях. Следуя ей, Бобу нужно пронумеровать элементы исследуемого множества натуральными числами: S₁, S₂, S₃ и т.д., и не допускать, чтобы эти числа принимали значение α.

Во время своего первого хода Боб оценивает S₁. Если S₁ меньше, чем A₁, то его нельзя выбрать по правилам игры; по этим же правилам оно гарантировано не будет α.

Тогда Боб просто выбирает любое другое число согласно правилам. Если S₁ больше, чем A₁, то Боб может выбрать S₁, и опять быть в безопасности, так как числа Алисы должны быть меньше последнего В. Делая эти итерации бесконечно, Боб всегда выигрывает.

Однако поскольку очевидно, что игру все-таки выигрывает Алиса, Мэтью Бейкер делает вывод, что исследованное множество действительных чисел является несчётным.

Предложенный американским математиком подход демонстрирует, как можно продуктивно применять совместно две разные области математики - теорию множеств и теорию игр.