Фундаментальное открытие в теории простых чисел

Простым числом в математике называется целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы. Первыми такими числами являются 2, 3, 5, 7, 11. Отсутствие какой-либо закономерности в их распределении среди бесконечного ряда целых чисел сбивало с толку математиков со времен античной Греции.

И вот математики Дэн Голдстон (Dan Goldston) из университета Сан-Хосе (Калифорния) и Кем Илдирим (Cem Yildirim) из университета Богазичи в Стамбуле (Турция) доказали, что простые числа вне зависимости от их величины могут появляться в ряду простых чисел ближе, чем среднее расстояние между ними. Сообщение об этом было сделано на конференции в Американском математическом институте в г. Пало-Альто, Калифорния.

"Это вызвало бурю восторгов", - заявил специалист в области простых чисел Роберт Воган (Robert Vaughan) из университета штата Пенсильвания. Долгое время математикам не удавалось обнаружить какой-либо систематичности в распределении простых чисел - несмотря на усилия таких светил, как Пьер Ферма, Бернард Риман, Джордж Харди и Пол Эрдос. Новое видение простых чисел не противоречит представлению о том, что их появление носит, в общем-то, случайный характер, однако теперь среди общего беспорядка удалось нащупать скопления этих чисел.

Долгое время считалось, что чем больше простые числа, тем больше расстояние между ними. Показано, что в окрестностях целого числа х среднее расстояние между последовательными простыми числами пропорционально логарифму х. Новое открытие доказало, что, несмотря на это, в отдельных случаях расстояние между такими числами может быть значительно меньше. Математикам давно известны так называемые парные простые (простые числа-близнецы, отличающиеся на 2): 11 и 13, 29 и 31, 59 и 61. Иногда они образуют целые скопления, например 101, 103, 107, 109 и 113. У математиков давно существовало подозрение, что такие скопления существуют и в области очень больших простых чисел, однако доказать это неудавалось.

Илдирим и Голдстон доказали, что расстояние между простыми числами может быть существенно меньше, чем среднее значение log x, вне зависимости от величины х. При этом соседствовать друг с другом могут как два числа, так и целые их скопления.

Особенно восхитило математическое сообщество не столько само доказательство, сколько метод, которым оно было получено. "Метод оказался существенно отличен от всего, что делалось прежде", - пояснил г-н Вохан. По его мнению, аналогичный подход может пролить свет также и на распределение аномально больших "зазоров" между простыми числами.

С простыми числами связана значительная доля еще не решенных проблем математики. В частности, приз в размере $1 млн. еще ждет того, кто сможет доказать гипотезу Римана, имеющую непосредственное отношение к проблеме распределения простых чисел.

Источник: по материалам журнала Nature.